数学：三角形内角和定理是什么

题记

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——谷歌联合创始人 拉里.佩奇

我们将学习的新知识点是三角形内角和定理，就是小学阶段便熟知的：三角形三个内角的和等于180°。

首先我们要明确定理的概念，经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据。我们也可以得出这样的结论：定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。再通俗地说，定理就是在任何情况下都绝对正确的规律，你不用怀疑它的真实性，因为它是由一代代数学家们，反复经过严谨的推理证明而得出的真理。

那如何论证：任意一个三角形三个内角的和等于180°？我们可以通过作平行线，改变角的位置，形成平角，然后利用平行线的性质和平角的定义来解决问题。

证明：如图，过点A作直线L，使L∥BC.

∵L∥BC,

∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等）.

同理，∠3=∠5.

∴∠1,∠4,∠5组成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）.

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.

以上我们就证明了任意一个三角形的内角和等于180°，得到如下定理：

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.

我们明白，学习理科必须练题，就是要通过不断刷题来提高能力，并积累解题经验。许多人学不好数学、物理，根本还在其所做题量不够，所以打“题海战术”是有价值的。但题是永远做不完的，一定先要把基本知识掌握。

三角形内角和定理是求三角形有关角的主要依据，它往往与角平分线及平行线等知识综合解决角的问题，有时也会用来解决涉及三角形内角和的实际问题。接下来开始练题：

第一题

请看题：在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）

A.必有一个内角等于30°

B.必有一个内角等于45°

C.必有一个内角等于60°

D.必有一个内角等于90°

题中条件“若一个内角等于另外两个内角的差”可表示为∠C=∠A-∠B，我们依据三角形内角和定理则可列出关系式：∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+（∠A-∠B）=180°，化简即2∠A=180°，可得∠A=90°。答案选D。

此题条件的另外一个更便于人理解的表述，应改为：一个内角要等于另外两个内角的和。所以是必有一个内角等于90°，且两种情况分别为90°，45°，45°和90°，60°，30°。

第二题

请看题：如图，在平行线L₁，L₂之间放置一块直角三角尺，三角尺的锐角顶点A，B分别在直线L₁，L₂上,若∠1=65°，则∠2的度数是（）

A.25°

B.35°

C.45°

D.65°

第一种思路：利用平行线性质

解：如图所示，根据题意

∵L₁∥L₂（已知）,

∴∠BAD+∠ABC=180°,即（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

在△ABC中

∵∠ACB=90°（已知）,

∴∠3+∠4=180°-90°=90°（三角形内角和定理）

又∵∠1=65°（已知）,

∴∠2=180°-∠1-∠3+∠4=180°-65°-90°=25°（等量代换）.

第二种思路：用辅助线作出三角形

解：如图所示，作辅助线CD延长AC至点D，根据题意

∵L₁∥L₂，且∠1=65°（已知）,

∴∠CDB=∠1=65°（两直线平行，内错角相等）.

∵∠ACB=90°（已知）,

∴∠BCD=180°-∠ACB=180°-90°=90°（平角定义），

∴在△BCD中，∠2=180°-∠BCD-∠CDB=180°-90°-65°=25°（三角形内角和定理）.

第三题

请看题：如图是一块试验田的形状（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发回到原处的途中身体共转过（）

A.90°

B.180°

C.270°

D.360°

如图所示。由图可知，管理员从出发到回到原处的途中身体转过的角度之和为∠1+∠2+∠3。

而∠1=180°-∠ACB，∠2=180°-∠BAC，∠1=180°-∠ABC，

且∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，

∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ACB+∠BAC+∠ABC）=540°-180°=360°。答案选D。

也就是，将△ABC的三个内角分别所在平面的三个平角度数之和求出（平角度数为180°），再减去三个内角的度数之和（三角形内角和定理），即180°×3-180°=540°-180°=360°。