指数函数底数为什么要大于0

一、指数函数底数为什么必须大于0

在指数函数y=a^x中

当a=0时，若x>0，则无论x取何值，a^x恒等于0；若x<0，则a^x无意义。<>

当a<0时，如y=(-2)^x，对x取任何值，在实数范围内函数不存在。<>

纵上可知，当a小于等于0时，指数函数没有实在意义，就是没有研究的必要。

在指数函数的定义表达式中，在a^前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

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指数函数性质

（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为(0， +∞)。

（3） 函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若

,则函数定过点(0,1+b))

（8） 指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

二、指数函数的底数为什么选大于0且不等于1

当a=1时，y值永远都等于1，研究这样的固定不变量没有价值，因此规定底数不为1。

如果a<0，那么当x是奇数时，y为负数；当x是偶数时，y为正数；当x=1>

综上，为了方便研究，只能强行规定对数的底数大于0且不等于1。

指数函数的一般形式为y=a?（a为常数且以a>0，a≠1）（x∈R），要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。

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指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e?，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。

最简单的说，指数函数按恒定速率翻倍，例如细菌培养时细菌总数（近似的）每三个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。

特别是复利，事实上就是它导致了雅各布·伯努利在1683年介入了现在叫做e的数。后来约翰·伯努利在1697年研究了指数函数的微积分。

在雅各布·伯努利之前，约翰·纳皮尔在1614年以及Jost Bürgi在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，直到1742年William Jones才发表了现在的幂指数概念。

约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。

三、为什么指数函数的a要大于0

指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

1、指数函数的值域为大于0的实数集合。

2、函数图形都是下凹的。

3、a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

4、可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

5、函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

6、函数总是通过（0，1）这点。

7、显然指数函数无界。

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函数图像：

由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。